KẾT LUẬN:

Các nghiên cứu ở chương 1, 2, 3, 4 cho phép chúng tôi tìm ra câu trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu đặt ra trước đó. Sau đây là những kết quả nghiên cứu chính đã đạt được: 

1. Phân tích khoa học luận lịch sử của khái niệm số âm: 

  - Chúng tôi đã chỉ ra tính phức tạp về nghĩa của dấu “-”. Cụ thể, nó có ba nghĩa khác nhau:

  - Dấu “-” để chỉ phép trừ được giới thiệu bởi Vidman (1489).

  - Dấu để chỉ số âm và số đối (theo Cauchy, 1821). 

  - Đặc biệt với số đối, có các ký hiệu sau: dấu “-” (theo Cauchy), “a” (theo Wilekens), “oppa” (theo Hanken). 

  - Tuy nhiên, Cauchy lại sử dụng cùng một ký hiệu dấu “-” với hai nghĩa khác nhau: dấu hiệu chỉ số âm và dấu chỉ số đối (trong trường hợp đối tượng “chữ”).

  - Qua phân tích thể chế, chúng tôi đã chỉ ra tính đa nghĩa của ký hiệu dấu “-”, dẫn đến chướng ngại didactic gắn liền với khái niệm số âm. Dấu “-” trong ký hiệu số âm trên tập hợp các số cụ thể tạo nên chướng ngại cho việc học tập số âm trên tập hợp các số hiện diện dưới dạng ký hiệu chữ. 

 - Sai lầm là học sinh quan niệm (-a) là số âm với mọi a khác 0, được kiểm chứng bằng thực nghiệm ở các lớp 6, 7, 8, 10. 

2. Phân tích và tổng hợp các nghiên cứu về khái niệm chữ:

 - Phân tích cho thấy ký hiệu chữ trong dấu giá trị tuyệt đối có các vai trò khác nhau như: chữ được gán giá trị (người ta thay bằng một giá trị số), chữ chỉ ẩn số, chữ chỉ biến số.

 - Từ phân tích lịch sử của khái niệm giá trị tuyệt đối, cho thấy tồn tại hai nghĩa khác nhau: “số cụ thể” và “hàm số”.

 - Qua phân tích thể chế, hai nghĩa này vẫn xuất hiện ở các lớp trung học cơ sở và lớp 10. Thực nghiệm của chúng tôi chứng tỏ rằng nghĩa “số cụ thể” tạo nên chướng ngại cho việc hiểu “hàm số” trong học tập của học sinh.

 - Sai lầm phổ biến là học sinh cho rằng \(-a = a\) với mọi \(a\). Hai lý do dẫn đến sai lầm này là quan niệm (-a) là số âm và áp dụng cách tìm giá trị tuyệt đối trên tập hợp các số cụ thể cho các chữ. 

3. Đối với kiểu nhiệm vụ “Giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối dạng \(A(x) = B(x)\)”:

  - Nghiên cứu của chúng tôi chỉ ra sự gắn kết giữa những câu trả lời sai của học sinh trung học cơ sở và học sinh lớp 10 với các quy tắc hành động:

  - R2a: \(A(x) = B(x) \Rightarrow A(x) = \pm B(x)\). Phạm vi hợp thức \(B(x) \geq 0\).

  - R2b: \(A(x)^2 = (B(x))^2 \Rightarrow [A(x)]^2 = [B(x)]^2\). Phạm vi hợp thức \(B(x) \geq 0\).

  - Quy tắc hành động R2a sinh ra từ việc học sinh giải nhiều bài toán với tình huống vế phải là số cụ thể (số dương). Quy tắc hành động R2b xuất phát từ quan niệm rằng sau khi bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối thì luôn thu được phương trình tương đương.

 - Thực nghiệm đã chỉ ra các sai lầm tồn tại dai dẳng ở học sinh. Đúng như Perrin-Glorian nói: “Những sai lầm gây nên bởi chướng ngại thường tồn tại rất dai dẳng và có thể tái xuất hiện ngay cả khi chủ thể đã có ý thức loại bỏ quan niệm sai lầm ra khỏi hệ thống nhận thức của mình”.

Hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn: 

- Do hạn chế về thời gian nên chúng tôi chưa thực nghiệm để kiểm chứng sự tồn tại các giả thuyết H1, H2 đối với học sinh lớp 9. Luận văn cũng chưa đề cập đến các sai lầm của học sinh khi giải quyết kiểu nhiệm vụ: “Giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối”.

- Việc học sinh phạm phải sai lầm tồn tại dai dẳng khi học tập khái niệm “giá trị tuyệt đối” đặt ra câu hỏi: Có thể xây dựng các tình huống xung đột nhận thức, cho phép làm mất ổn định và phá hủy kiến thức cũ, nguồn gốc của sai lầm hay không? Đây là câu hỏi cần nghiên cứu trong thời gian tới.